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标题: 2010考研数学大纲解析：线代重点及典型题型 [打印本页]

作者: 郑大考研网1 时间: 2009-8-30 14:28
标题: 2010考研数学大纲解析：线代重点及典型题型
　　线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。线代在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的，下面就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对大家学习有帮助。
　　第一章行列式
　　重点内容与常见的典型题型
　　行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。
　　考研试题中关于行列式的题型主要是填空题，常见题型为：
　　1、低阶行列式的计算
　　2、n阶行列式计算技巧(消零化三角形法、拆项法、加边法、归纳法、递推公式法、利用范德蒙行列式计算行列式)
　　3、行列式表示的函数、方程
　　4、关于余子式和代数余子式
　　5、抽象矩阵的行列式
　　6、行列式的证明题
　　第二章矩阵
　　重点内容与常见的典型题型
　　矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。学习线性代数的目标之一，就是要学会利用矩阵这一工具去刻画你所面对的问题，并能利用矩阵的运算和性质去解决问题。矩阵考试的重点内容：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的秩。以计算题为主，技巧性强。
　　常见题型有以下几种：
　　1、计算方阵的幂
　　2、矩阵乘法的可交换性
　　3、对称阵和反对称阵
　　4、求逆矩阵
　　5、伴随矩阵
　　6、矩阵方程
　　7、初等矩阵与初等变换
　　8、矩阵的秩和等价矩阵
　　9、分块矩阵的运算
　　第三章向量
　　重点内容与常见的典型题型
　　我们研究一个事物，总要研究其最基本的构成。在线性代数中所研究对象的基本构成是什么呢？就是向量。本章是考研复习的重点，也是难点。本章重点内容是：
　　1、理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示；
　　2、理解向量组线性相关与线性无关的概念；
　　3、了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法，
　　4、会求向量组的最大线性无关组和向量组的秩；
　　5、了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，
　　6、会用矩阵的秩解决有关问题。
　　重点题型有：
　　1、线性表出
　　2、线性相关性的判别
　　3、线性相关性的证明
　　4、向量组及矩阵的秩
　　5、矩阵等价与向量组等价
　　第四章线性方程组
　　重点内容与常见的典型题型
　　本章的重点内容有：
　　1、理解齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的充分必要条件；
　　2、理解齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念；
　　3、掌握非齐次线性方程组的解集的结构；
　　4、掌握用初等行变换求齐次和非齐次线性方程组的通解的方法。
　　主要题型：
　　1、线性方程组的求解
　　2、方程组解向量的判别，解的性质
　　3、齐次线性方程组的基础解系
　　4、非齐次线性方程组的通解结构
　　5、的解向量与的行向量关系，由基础解系反求
　　6、()的解向量与的列向量关系。
　　7、解线性方程组
　　8、两个方程组的公共解
　　9、同解方程组
　　第五章特征值、特征向量
　　重点内容与常见的典型题型
　　重要内容：
　　理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量；
　　了解相似变换、相似矩阵的概念及性质，
　　掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件及其方法；
　　了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，
　　掌握用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。
　　(数学一还包括：了解n维向量空间、基、维数、坐标等概念，会求基变换的过渡矩阵，并通过过渡矩阵求向量在新、旧基下的坐标；了解内积的概念，掌握向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法，以及正交矩阵的概念与性质。
　　重点题型：
　　1、数值矩阵的特征值、特征向量的求法
　　2、抽象矩阵特征值、特征向量的求法
　　3、求可逆阵P，使
　　4、由特征值，特征向量反求A
　　5、特征值、特征向量，相似对角阵的应用
　　第六章二次型
　　重点内容与常见的典型题型
　　重点内容：
　　掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念；了解二次型的规范形和惯性定理；掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形；理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。
　　重点题型：
　　1、二次型表成矩阵形式
　　2、化二次型为标准形
　　3、合同二次型，合同矩阵
　　4、二次型正定性的判别
　　5、正定二次型的证明

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