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发表于 2014-6-28 12:42:54 |只看该作者 |正序浏览
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如何备考考研线性代数


  关于数学,特别是线性代数的复习备考,这里提出“早”、“纲”、“基”、“活”的四字方略,供理工类、经济类考生参考.
  一、“早”.提倡一个“早”字,是提醒考生考研数学备考要早计划、早安排、早动手.因为数学是一门思维严谨、逻辑性强、相对比较抽象的学科.和一些记忆性较多的学科不同,数学需要理解的概念多,方法又灵活多变,而理解概念,特别是理解比较抽象的概念是一个渐近的过程,它需要思考、消化,需要琢磨、需要从不同的角度、不同的侧面的深入研究,总之它需要时间,任何搞突击,搞速成的思想不可取,这对大多数考生而言,不可能取得成功;另一方面,早计划、早安排、早动手是采取“笨鸟先飞”之策,这是考研的激烈竞争现实所要求的,早一天准备,多一分成绩,多一份把握,现在不少大一、大二的在校生已经在准备 2 ~ 3 年后的考研,这似乎是早了点,但作为一个目标、作为一个追求,无可非议.作为 2001 年的考生,从现在开始备考,恐怕已经不算太早了.
  二、“纲”.突出一个纲字,就是要认真研究考试大纲,要根据考试大纲规定的考试内容、考试要求、考试样题有计划地、认真地、全面地、系统地复习备考,加强备考的针对性.
  由于全国基础数学教材 ( 高等数学,线性代数,概率论和数理统计 ) 并不统一,各学校、各专业对这些课程要求的层次也各不相同,因此教育部并没有指定统一的教材或参考书作为命题的依据,而是以教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》 ( 下称《大纲》 ) 作为考试的法规性文件,命题以《大纲》为依据,考生备考复习当然也应以《大纲》为依据.




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发表于 2014-6-28 12:43:32 |只看该作者
如果你体会不到以上各种变式实质上是一样的,那么你没有学“活”线性代数,你的知识点还是孤立的.
  由于知识间的紧密联系和渗透,而综合考试试题不再依附于某章、某节 ( 依附于某章、某节后面的习题,实际上是给解题人提供了用该章、该节的内容和方法解题的提示 ) ,这会给考生解题带来困难.学“活”并非易事,需要经常总结,广开思路.
例 3 已知 A 是 n 阶正定阵, B 是 n 阶反对称阵,证明 A-B2 是正定阵.
解析 本题题目本身有提示性,已知的是正定阵,要证的也是正定阵,显然属于二次型中有关正定性的试题,具体解答如下.
B 是反对称阵,故 BT = -B .
任给 X ≠ 0 ,因 A 正定,故 XTAX>O ,又 XT( 一 B2)X = XTBTBX = (BX)TBX ≥ 0 .
故有 XT(A-B2)X = XT(A+(-B)B)X = XT(A+BTB)X = XTAX+(BX)TBX>O .
所以 A-B2 是正定阵.
变式 (1) 已知 A 是 n 阶正定阵, B 是 n 阶反对称阵.证明 A-B2 是可逆阵. v 这个变式要求证明 A-B2 可逆,但已知 A 正定.为了利用已知条件,还可以想到 A-B2 是否正定,即若证明了 A-B2 正定,自然也就证明了 A-B2 可逆.
变式 (2) 已知 B 是 n 阶反对称阵, E 是 n 阶单位阵,证明 E-B2 可逆.
这个变式中,隐去了 A 是正定阵的条件,而是给了一个具体的正定阵 E ,要求想到用证正定的角度来证 E-B2 可逆,难度就相当大了,这需要经验的积累和总结.
  由于知识间的广泛联系和相互渗透,给不少题的一题多解创造了条件.你可以从各个不同的角度去研究试题,找到一个合适的切入点,从而最终找到问题的答案.
  总之,重视三基,重视各章节之间的联系,重视从多角度研究试题,重视灵活性和综合性,重视应用,是取得理想成绩的必由之路。
  其实偶个人认为,在高数、线代、概率这三部分当中,线代是最简单的了,也不像高数那么灵活多变,只要掌握了基本知识,多作些题,再细心一些,这部分拿高分很容易。

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发表于 2014-6-28 12:43:19 |只看该作者
 三、“基”.强调一个“基”字,是指要强调数学学习中的三基,即要重视基本概念的理解,基本方法的掌握,基本运算的熟练.
  基本概念理解不透彻,对解题会带来思维上的困难和混乱.因此对概念必须搞清它的内涵,还要研究它的外延,要理解正面的含义,还要思考、理解概念的侧面、反面.例如关于矩阵的秩,教材中的定义是: A 是阴 Xn 矩阵,若 A 中有一个 r 阶子式不为零,所有 r 阶以上子式 ( 如果它还有的话 ) 均为零,则称 A 的秩为 r ,记成 rank(A) : r( 或 r(A) = r ,秩 A = r) .显然,定义中内涵的要点有: 1 . A 中至少有一个 r 阶子式不为零; 2 .所有 r 阶以上均为零. 3 .若所有 r+1 子式都为零,则必有所有 r 阶以上子式均为零.要点 2 和 3 是等价条件,至于 r 阶子式是否可以为零?小于 r 阶的子式是否可以为零 ? 所有 r-1 阶的子式是否可以全部为零?这些都是秩的概念的外延内容,如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解.
例 1 设 A 是 m × n 矩阵, r(A) = r
(B) 有不等于零的 r 阶子式,没有不等于零的 r+1 阶子式.
(C) 有等于零的 r 阶子式,没有不等于零的 r+1 阶子式.
(D) 任何 r 阶子式不等于零,任何 r+1 阶子式都等于零.
答案: (B)
  基本方法要熟练掌握.熟练掌握不等于死记硬背,相反要抓问题的实质,要在理解的基础上适当记忆.把需要记忆的东西缩小到最低限度,很多方法可以通过练习来记住,例如一个实对称矩阵,一定存在正交矩阵,通过正交变换化为对角阵,其步骤较多,但通过练习,不难解决.
  基本计算要熟练.学习数学,离不开计算,计算要熟练,当然要做一定数量的习题,通过一定数量的习题,把计算的基本功练扎实.在练习过程中,自觉的提高运算能力,提高运算的准确性,养成良好的运算习惯和科学作风.特别对线性代数而言,运算并不复杂,大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法,从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中 ( 行列式、矩阵、向量、方程组 ) 绝大多数的运算是初等变换.用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组 ( 或矩阵 ) 的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等.可以想象,一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误,那你的答案将是什么样的结果?从历届数学试题来看,每年需要通过计算得分的内容均在 70% 左右,可见计算能力培养的重要.只听 ( 听各种辅导班 ) 不练,只看 ( 看各类辅导资料 ) 不练,眼高手低,专找难题做,这并不适合一般考生的情况,在历届考生中,不乏有教训惨痛的人.
  四、“活”.线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多,内容相互纵横交错,知识前后紧密联系是线性代数课程的特点,故考生应通过全面系统的复习,充分理解概念,掌握定理的条件、结论及应用,熟悉符号的意义,掌握各种运算规律、计算方法,并及时进行总结,抓联系,抓规律,使零散的知识点串起来、连起来,使所学知识融会贯通,实现一个“活”字.
  线性代数各章节的内容,不是孤立割裂的,而是相互渗透、紧密联系的.如 A 是 n 阶方阵,若,| A |≠ 0( 称 A 为非奇阵 ) . <=>A 是可逆阵. <=> 有 n 阶方阵 B ,使得 AB=BA=E . <=>B=A-1 = A* /| A |. <=>r(A)=n( 称 A 是满秩阵 ) . <=> 存在若干个初等阵 P1 , P2 ,…, PN ,使得 PNPN-1 … P1A=E . <=>(A ┆ E) → (E ┆ A-1) . <=>A 可表示成若干个可逆阵的乘积. <=>A 可表示成若干个初等阵的积。 <=>A 的列向量组线性无关 ( 列满秩 ) . <=>AX=0 ,唯一零解. <=>A 的行向量组线性无关 ( 行满秩 ) . <=>A 的列 ( 行 ) 向量组是 Rn 空间的基. <=> 任何 n 维列向量 b 均可由 A 的列向量线性表出 ( 且表出法唯一 ) . <=> 对任意的列向量 b ,方程组 AX = b 有唯一解,且唯一解为 A-1b<=>A 没有零特征值,即λ i ≠ O , i = 1 , 2 ,…, n . <=A 是正定阵 ( 正交阵,… ) . 这种知识间的相互联系、渗透,给综合命题创造了条件,同样一个试题,可以从不同的角度有多种命制试题的方法.
  例 2 (2001 年数学一第九题 ) 设α 1 ,α 2 ,…,α s ,是线性方程组 AX = 0 的基础解系,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,试问 t1 , t2 满足什么条件时,β 1 ,β 2 ,…,β s 也是 AX=0 的基础解系.
解析 本题的答题要点是: (1) 对任意 t1 , t2 ,β i , i = 1 , 2 ,…, s 仍是 AX = 0 的解; (2) 对任意 t1 , t2 ,β 1 ,β 2 ,…,β s 向量个数是 s ; (3) β 1 ,β 2 ,…,β s ,线性无关 <=>t1s+( 一 1)n+1t2s ≠ 0 . 满足 (1) 、 (2) 、 (3) 时,即, t1s+( 一 1)n+1t2s 一 1) ”≠ 0 时,β 1 ,β 2 ,…,β s 仍是 AX = 0 的基础解系.
变式 (1) ( 改变成线性相关性试题 )
已知向量组α 1 ,α 2 ,…,α s 线性无关,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+ t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,试问 t1 , t2 满足什么条件时,β 1 ,β 2 ,…,β s 线性无关.
变式 (2) ( 改变成向量组的秩的试题 )
已知向量组α 1 ,α 2 ,…,α s 的秩为 s .β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+ t2 α 1 ,试问 t1 , t2 满足什么条件时, r( β 1 ,β 2 ,…,β s) = s .
变式 (3) ( 改变成等价向量组的试题 )
已知α 1 ,α 2 ,…,α s 线性无关,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,试问 t1 , t2 满足什么条件时,β 1 ,β 2 ,…,β s 和α 1 ,α 2 ,…,α s 是等价向量组.
变式 (4) ( 改变成子空间的基的试题 )
设 y 是 Rn 的子空间,α 1 ,α 2 ,…,α s 是 V 的基,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,试问 t1 , t2 满足什么条件时,β 1 ,β 2 ,…,β s 也是子空间 V 的基.
难道你不认为以上的各种变式基本上是一样的吗 ? 它们的答题要点是什么呢 ?
改变试题难度,将向量个数 s 具体化,则成 2001 年数学试卷二第十二题.
变式 (5) 已知α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,是线性方程组 AX=0 的基础解系,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,β 3 = t1 α 3+t2 α 4 ,β 4 = t1 α 4+t2 α 3 ,,试问 t1 , t2 满足什么条件时,β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 ,也是 AX = 0 的基础解系.
改变参数,你不是可以“随心所欲”吗 ?
变式 (6) 已知α 1 ,α 2 ,…,α s 是 AX = 0 的基础解系,β 1 = t1 α 1+t2 α 2 ,β 2 = t1 α 2+t2 α 3 ,…,β s = t1 α s+t2 α 1 ,试问α 1 ,α 2 ,…,α s ,满足什么条件时,β 1 ,β 2 ,…,β s 也是 AX = 0 的基础解系.


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发表于 2014-6-28 12:43:07 |只看该作者
为了让广大考生对“考什么”有一定的了解 ( 不是盲目的备考 ) ,教育部考试中心命制的试题,每年都具有稳定性、连续性的特点.《大纲》提供的样题及历届试题也在于让考生了解“考什么”.历届试题中,从来没有出过偏题、怪题,也没有出过超过大纲范围的超纲题.当然,一份好的试题,首先要有好的区分度,使高水平考生考出好成绩,因此试题中难、易试题要有恰当的搭配;试题的总量必须有一定的限制,同时试题还要有尽可能大的覆盖面,因此一味地去做难题,甚至怪题、偏题是不可取的,“题海战术”不能替代全面、系统的复习,由于试题有极大的覆盖面,每年试题几乎都要覆盖所有的章节,因此偏废某部分内容也是不恰当的.任何“猜题”及侥幸心理都会导致失败.只有根据大纲,全面、系统地复习,不留遗漏,才不会留下遗憾.
  请广大考生留意,今年《大纲》有一定的变化:所有的近似计算取消了,特别是数学试卷二,“线性代数初步”中取消了“初步”两字,增考了“特征值、特征向量”一章的内容.


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