如何备考考研线性代数

六月的雨LW

如何备考考研线性代数

　　关于数学，特别是线性代数的复习备考，这里提出“早”、“纲”、“基”、“活”的四字方略，供理工类、经济类考生参考．
　　一、“早”．提倡一个“早”字，是提醒考生考研数学备考要早计划、早安排、早动手．因为数学是一门思维严谨、逻辑性强、相对比较抽象的学科．和一些记忆性较多的学科不同，数学需要理解的概念多，方法又灵活多变，而理解概念，特别是理解比较抽象的概念是一个渐近的过程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要从不同的角度、不同的侧面的深入研究，总之它需要时间，任何搞突击，搞速成的思想不可取，这对大多数考生而言，不可能取得成功；另一方面，早计划、早安排、早动手是采取“笨鸟先飞”之策，这是考研的激烈竞争现实所要求的，早一天准备，多一分成绩，多一份把握，现在不少大一、大二的在校生已经在准备 2 ～ 3 年后的考研，这似乎是早了点，但作为一个目标、作为一个追求，无可非议．作为 2001 年的考生，从现在开始备考，恐怕已经不算太早了．
　　二、“纲”．突出一个纲字，就是要认真研究考试大纲，要根据考试大纲规定的考试内容、考试要求、考试样题有计划地、认真地、全面地、系统地复习备考，加强备考的针对性．
　　由于全国基础数学教材 ( 高等数学，线性代数，概率论和数理统计 ) 并不统一，各学校、各专业对这些课程要求的层次也各不相同，因此教育部并没有指定统一的教材或参考书作为命题的依据，而是以教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》 ( 下称《大纲》 ) 作为考试的法规性文件，命题以《大纲》为依据，考生备考复习当然也应以《大纲》为依据．

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为了让广大考生对“考什么”有一定的了解 ( 不是盲目的备考 ) ，教育部考试中心命制的试题，每年都具有稳定性、连续性的特点．《大纲》提供的样题及历届试题也在于让考生了解“考什么”．历届试题中，从来没有出过偏题、怪题，也没有出过超过大纲范围的超纲题．当然，一份好的试题，首先要有好的区分度，使高水平考生考出好成绩，因此试题中难、易试题要有恰当的搭配；试题的总量必须有一定的限制，同时试题还要有尽可能大的覆盖面，因此一味地去做难题，甚至怪题、偏题是不可取的，“题海战术”不能替代全面、系统的复习，由于试题有极大的覆盖面，每年试题几乎都要覆盖所有的章节，因此偏废某部分内容也是不恰当的．任何“猜题”及侥幸心理都会导致失败．只有根据大纲，全面、系统地复习，不留遗漏，才不会留下遗憾．
　　请广大考生留意，今年《大纲》有一定的变化：所有的近似计算取消了，特别是数学试卷二，“线性代数初步”中取消了“初步”两字，增考了“特征值、特征向量”一章的内容．

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　三、“基”．强调一个“基”字，是指要强调数学学习中的三基，即要重视基本概念的理解，基本方法的掌握，基本运算的熟练．
　　基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱．因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面．例如关于矩阵的秩，教材中的定义是： A 是阴 Xn 矩阵，若 A 中有一个 r 阶子式不为零，所有 r 阶以上子式 ( 如果它还有的话 ) 均为零，则称 A 的秩为 r ，记成 rank(A) ： r( 或 r(A) ＝ r ，秩 A ＝ r) ．显然，定义中内涵的要点有： 1 ． A 中至少有一个 r 阶子式不为零； 2 ．所有 r 阶以上均为零． 3 ．若所有 r+1 子式都为零，则必有所有 r 阶以上子式均为零．要点 2 和 3 是等价条件，至于 r 阶子式是否可以为零？小于 r 阶的子式是否可以为零 ? 所有 r-1 阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解．
例 1 设 A 是 m × n 矩阵， r(A) ＝ r
(B) 有不等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式．
(C) 有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式．
(D) 任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式都等于零．
答案： (B)
　　基本方法要熟练掌握．熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆．把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决．
　　基本计算要熟练．学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实．在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风．特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中 ( 行列式、矩阵、向量、方程组 ) 绝大多数的运算是初等变换．用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组 ( 或矩阵 ) 的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等．可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在 70% 左右，可见计算能力培养的重要．只听 ( 听各种辅导班 ) 不练，只看 ( 看各类辅导资料 ) 不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在历届考生中，不乏有教训惨痛的人．
　　四、“活”．线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字．
　　线性代数各章节的内容，不是孤立割裂的，而是相互渗透、紧密联系的．如 A 是 n 阶方阵，若，｜ A ｜≠ 0( 称 A 为非奇阵 ) ． <=>A 是可逆阵． <=> 有 n 阶方阵 B ，使得 AB=BA=E ． <=>B=A-1 ＝ A* ／｜ A ｜． <=>r(A)=n( 称 A 是满秩阵 ) ． <=> 存在若干个初等阵 P1 ， P2 ，…， PN ，使得 PNPN-1 … P1A=E ． <=>(A ┆ E) → (E ┆ A-1) ． <=>A 可表示成若干个可逆阵的乘积． <=>A 可表示成若干个初等阵的积。 <=>A 的列向量组线性无关 ( 列满秩 ) ． <=>AX=0 ，唯一零解． <=>A 的行向量组线性无关 ( 行满秩 ) ． <=>A 的列 ( 行 ) 向量组是 Rn 空间的基． <=> 任何 n 维列向量 b 均可由 A 的列向量线性表出 ( 且表出法唯一 ) ． <=> 对任意的列向量 b ，方程组 AX ＝ b 有唯一解，且唯一解为 A-1b<=>A 没有零特征值，即λ i ≠ O ， i ＝ 1 ， 2 ，…， n ． <=A 是正定阵 ( 正交阵，… ) ． 这种知识间的相互联系、渗透，给综合命题创造了条件，同样一个试题，可以从不同的角度有多种命制试题的方法．
　　例 2 (2001 年数学一第九题 ) 设α 1 ，α 2 ，…，α s ，是线性方程组 AX ＝ 0 的基础解系，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，试问 t1 ， t2 满足什么条件时，β 1 ，β 2 ，…，β s 也是 AX=0 的基础解系．
解析 本题的答题要点是： (1) 对任意 t1 ， t2 ，β i ， i ＝ 1 ， 2 ，…， s 仍是 AX ＝ 0 的解； (2) 对任意 t1 ， t2 ，β 1 ，β 2 ，…，β s 向量个数是 s ； (3) β 1 ，β 2 ，…，β s ，线性无关 <=>t1s+( 一 1)n+1t2s ≠ 0 ． 满足 (1) 、 (2) 、 (3) 时，即， t1s+( 一 1)n+1t2s 一 1) ”≠ 0 时，β 1 ，β 2 ，…，β s 仍是 AX ＝ 0 的基础解系．
变式 (1) ( 改变成线性相关性试题 )
已知向量组α 1 ，α 2 ，…，α s 线性无关，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+ t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，试问 t1 ， t2 满足什么条件时，β 1 ，β 2 ，…，β s 线性无关．
变式 (2) ( 改变成向量组的秩的试题 )
已知向量组α 1 ，α 2 ，…，α s 的秩为 s ．β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+ t2 α 1 ，试问 t1 ， t2 满足什么条件时， r( β 1 ，β 2 ，…，β s) ＝ s ．
变式 (3) ( 改变成等价向量组的试题 )
已知α 1 ，α 2 ，…，α s 线性无关，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，试问 t1 ， t2 满足什么条件时，β 1 ，β 2 ，…，β s 和α 1 ，α 2 ，…，α s 是等价向量组．
变式 (4) ( 改变成子空间的基的试题 )
设 y 是 Rn 的子空间，α 1 ，α 2 ，…，α s 是 V 的基，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，试问 t1 ， t2 满足什么条件时，β 1 ，β 2 ，…，β s 也是子空间 V 的基．
难道你不认为以上的各种变式基本上是一样的吗 ? 它们的答题要点是什么呢 ?
改变试题难度，将向量个数 s 具体化，则成 2001 年数学试卷二第十二题．
变式 (5) 已知α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ，是线性方程组 AX=0 的基础解系，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，β 3 ＝ t1 α 3+t2 α 4 ，β 4 ＝ t1 α 4+t2 α 3 ，，试问 t1 ， t2 满足什么条件时，β 1 ，β 2 ，β 3 ，β 4 ，也是 AX ＝ 0 的基础解系．
改变参数，你不是可以“随心所欲”吗 ?
变式 (6) 已知α 1 ，α 2 ，…，α s 是 AX ＝ 0 的基础解系，β 1 ＝ t1 α 1+t2 α 2 ，β 2 ＝ t1 α 2+t2 α 3 ，…，β s ＝ t1 α s+t2 α 1 ，试问α 1 ，α 2 ，…，α s ，满足什么条件时，β 1 ，β 2 ，…，β s 也是 AX ＝ 0 的基础解系．

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如果你体会不到以上各种变式实质上是一样的，那么你没有学“活”线性代数，你的知识点还是孤立的．
　　由于知识间的紧密联系和渗透，而综合考试试题不再依附于某章、某节 ( 依附于某章、某节后面的习题，实际上是给解题人提供了用该章、该节的内容和方法解题的提示 ) ，这会给考生解题带来困难．学“活”并非易事，需要经常总结，广开思路．
例 3 已知 A 是 n 阶正定阵， B 是 n 阶反对称阵，证明 A-B2 是正定阵．
解析 本题题目本身有提示性，已知的是正定阵，要证的也是正定阵，显然属于二次型中有关正定性的试题，具体解答如下．
B 是反对称阵，故 BT ＝ -B ．
任给 X ≠ 0 ，因 A 正定，故 XTAX>O ，又 XT( 一 B2)X ＝ XTBTBX ＝ (BX)TBX ≥ 0 ．
故有 XT(A-B2)X ＝ XT(A+(-B)B)X ＝ XT(A+BTB)X ＝ XTAX+(BX)TBX>O ．
所以 A-B2 是正定阵．
变式 (1) 已知 A 是 n 阶正定阵， B 是 n 阶反对称阵．证明 A-B2 是可逆阵． v 这个变式要求证明 A-B2 可逆，但已知 A 正定．为了利用已知条件，还可以想到 A-B2 是否正定，即若证明了 A-B2 正定，自然也就证明了 A-B2 可逆．
变式 (2) 已知 B 是 n 阶反对称阵， E 是 n 阶单位阵，证明 E-B2 可逆．
这个变式中，隐去了 A 是正定阵的条件，而是给了一个具体的正定阵 E ，要求想到用证正定的角度来证 E-B2 可逆，难度就相当大了，这需要经验的积累和总结．
　　由于知识间的广泛联系和相互渗透，给不少题的一题多解创造了条件．你可以从各个不同的角度去研究试题，找到一个合适的切入点，从而最终找到问题的答案．
　　总之，重视三基，重视各章节之间的联系，重视从多角度研究试题，重视灵活性和综合性，重视应用，是取得理想成绩的必由之路。
　　其实偶个人认为，在高数、线代、概率这三部分当中，线代是最简单的了，也不像高数那么灵活多变，只要掌握了基本知识，多作些题，再细心一些，这部分拿高分很容易。