数三知识点总结

.l.l

高数
三角函数变换
cos (A−B)=cosAcosB+sinAsinB cos (A+B)=cosAcosB+sinAsinB
sin( A−B)=sinAcosB−cosAsinB sin( A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sinAcosB=12
[sin ( A+B)+sin( A−B)] sinxcosx=12
sin2x
sinAsinB=12
[cos (A−B)−cos( A+B)] sin2 x=1
2 (1−cos2x )
cosAcosB=12
[cos( A−B)+cos( A+B)] cos2 x=12
(1+cos2x)
cos2x=
1−tan2 x
1+tan2 x
sin2x= 2tanx
1+tan2 x
arcsinx+arccosx= π2
arctanx+arccotx= π2
arctanx+arctan 1
x= π2
圆柱体积V =π r2 h 圆锥体积V =13
π r 2 h 球体积V =43
π r3
椭圆面积S=π ab
抛物线y2=2px 交点坐标( p
2
,0) 准线x=− p
2
点到直线距离
∣ax0+by0+c∣
√a2+b2
第一类间断点：包括可去间断点和跳跃间断点。
可去间断点：间断点处左右极限存在但不等于该点函数值。f (x0+0)= f (x0−0)≠ f ( x0)
跳跃间断点：间断点处左右极限存在但不相等。f (x0+0)≠ f ( x0−0)
第二类间断点：间断点处左右极限至少有一个是∞
重要极限
lim
x→0
sinx
x =1 lim
x→∞
(1+1
x )
x
=e lim
x→0
(1+x )
1x
=e
x趋向于0时的等价无穷小
sinx～x tanx～x arcsinx～x arctanx～x 1−cosx～12
x2
ln(1+x )～x loga (x+1)～ x
lna e x−1～x a x−1～xlna
n√1+x−1～ x
n (1+bx )a−1～abx
导数公式
(a x)'=ax lna (loga x)'= 1
xlna
(tanx)'=sec2 x (cotx)'=−csc2 x (secx)'=secx tanx (cscx)'=−cscx cotx
(arcsinx )'= 1
√1−x2 (arccosx)'=− 1
√1−x2 (arctanx)'= 1
1+x2 (arccotx)'=− 1
1+x2
[sin (ax+b)](n)=an sin(ax+b+n2
π ) [cos(ax+b)](n)=an cos (ax+b+n2
π )
( 1
ax+b )
(n)
=
(−1)n an n!
(ax+b)n+1 [ln(ax+b)](n)=
(−1)n−1(n−1)!an
(ax+b)n
积分公式
∫ dx
√ x2±a2=ln∣x+√ x2±a2∣+C
∫ dx
√a2−x2=arcsin x
a+C
∫ dx
x2−a2=12
ln∣x−a
x+a∣+C
∫ dx
x2+a2= 1
a
arctan x
a+C ∫ dx
a2 x2+b2= 1
ab
arctan ax
b +c
∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+c ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+c
∫√a2−x2 dx=
a2
2
arcsin x
2+
x
2 √a2−x2+c ∫√ x2±a2 dx=
x
2 √ x2±a2±
a2
2
ln∣x+√ x2±a2∣+c
∫0
π2
sinn xdx=∫0
π2
cosn xdx=
(n−1)!!
n!!
π2
(n为偶数)
∫0
π2
sinn xdx=∫0
π2
cosn xdx=
(n−1)!!
n!!
(n为奇数)
∫0
π2
f ( sinx)dx=∫0
π2
f (cosx)dx
∫0
π xf (sinx)dx= π2
∫0
π f (sinx)dx=π ∫0
π2
f (sinx)dx
∣∫0
x f ( t) dt∣≤∫0
x
∣f (t)∣dt
∫0
a f ( x)dx=12
∫0
a
[ f ( x)+ f (−x )]dx
∫−a
a f ( x)dx=∫0
a
[ f (x )+ f (−x)]dx
f x
' ( x , y) , f y
' (x , y ) 在(x0, y0) 连续⇒z= f (x , y ) 在(x0, y0) 可微
⇒ f ( x , y) 在(x0, y0) 连续
二重积分特点
积分区域D关于x轴对称
∬D
f ( x , y)d σ =0 f为y的奇函数，即f (x ,−y)=− f ( x , y)
∬D
f ( x , y)dσ =2∬D1
f ( x , y)dσ f为y的偶函数，即f (x ,−y )= f (x , y )
积分区域D关于y轴对称
∬D
f ( x , y)dσ =0 f为x的奇函数，即f (−x , y)=− f ( x , y)
∬D
f ( x , y)dσ =2∬D1
f ( x , y)dσ f为x的偶函数，即f (−x , y)= f (x , y )
积分区域关于原点对称
∬D
f ( x , y)dσ =0 f为x，y的奇函数，即f (−x ,−y)=− f ( x , y)
∬D
f ( x , y)dσ =2∬D1
f ( x , y)dσ f为x，y的偶函数，即f (−x ,−y)= f ( x , y)
函数展开式
e x=1+x+ 1
2!
x 2+…+ 1
n!
xn=Σk
=0
n xk
k !
sinx=x− 1
3!
x3+ 1
5!
x5−…+(−1)n−1 1
(2n−1)!
x2n−1=Σk
=0
n
(−1)k x2k+1
(2k+1)!
cosx=1− 1
2!
x2+ 1
4!
x4−…+(−1)n 1
(2n )!
x2n=Σk
=0
n
(−1)k x2k
(2k)!
ln(1+x )=x−12x2+13
x3+…+(−1)n−1 1
n
xn=Σk
=1
n
(−1)k−1 xk
k
1
1+x=Σk
=0
n
(−1)k xk 1
1−x=Σk
=0
n
xk
多元函数极值：驻点(x0, y0) 满足f x
' ( x0, y0)=0 ， f y
' (x0, y0)=0
且A= f xx
' ' ( x0, y0) , B= f xy
' ' ( x0, y0) , C= f yy
' ' ( x0, y0)
B2−AC<0 时， (x0, y0) 是极值点， A>0 时是最小值， A<0 时是最大值。
B2−AC>0 时， (x0, y0) 不是极值点。
B2−AC=0 时，不能判断，需要另外方法讨论。
一阶线性微分方程： y'+ p(x ) y=q( x)
公式法通解： y=e−∫ p( x)dx [∫q(x )e∫p(x)dx dx+C]
二阶常系数线性微分方程： y' '+py'+qy=0 ，特征方程： r 2+pr=q=0
Δ= p2−4q>0 时，有两个相异实根r 1 r 2 ，通解y= f (x )=C1 er1 x+C2 er2 x
Δ= p2−4q=0 时，有二重根r，通解y= f (x )=(C1+C2 x)erx
Δ= p2−4q<0 时，有共轭虚根a±i β ，通解y= f ( x)=eax(C1 cosβ x+C2 sinβ x)
二阶常系数非齐次微分方程： y' '+ py'+qy= f ( x)
f (x ) 形式特解形式
f (x )=Pn(x )
Pn(x ) 为n次多项式
0不是特征根， y*=Rn(x)
0是单根， y*=xRn(x )
0是而重根， y*=x2 Rn( x)
f (x )=Meax
a≠0 ， M≠0
a不是特征根， y*=Aeax
a是单根， y*=Axeax
a是二重根， y*=Ax2 eax
f (x )=Mcosβ x+Nsinβ x
M，N不全为0， β >0
±i β 不是特征根， y*=Acosβ x+Bsinβ x
±i β 是特征根， y*=x ( Acosβ x+Bsinβ x)
差分一般形： yt+1+ayt= f (t ) ，通解yt=C (−a)t
f (x ) 形式特解形式
f (t)=Pn(t)
Pn(t) 为n次多项式
a+1≠0 ， y=Qn(t)
a+1=0 ， y=tQn( t)
f (t)=Mbt a+b≠0 ， y=Abt
a+b=0 ， y=Atbt
f (t)=Mcosβ t+Nsinβ t y=Acosβ t+Bsinβ t
渐近线
x=a 是垂直渐近线lim
x→a
f (x )=∞ ，必须是a左右都趋于无穷。
x→+∞ 时， y=b 是水平渐近线⇔ lim
x→+∞
f ( x)=b
x→+∞ 时， y=kx+b 是斜渐近线⇔ lim
x→+∞
f (x )
x =k ，且lim
x→+∞
[ f ( x)−kx ]=b
在考察水平渐近线和斜渐近线时，也要同时考察x→−∞ 时的情况。
级数Σn
=1
∞
Un 收敛的必要条件是lim
n →∞
Un=0
若级数Σn
=1
∞
Un 收敛，任意添加括号不影响敛散性，去括号会有影响。
Σn
=0
∞
aqn ，当∣q∣<1 时收敛，当∣q∣≥1 时发散
Σn
=0
∞ 1
np ，当p>1 时收敛，当p≤1 时发散。
正项级数审敛法之一：比较判别法
Σn
=1
∞
Un 和Σn
=1
∞
V n 为正项级数，且lim
x→∞
V n
U n
=A
当0<A<+∞ 时， Σn
=1
∞
Un 和Σn
=1
∞
V n 有相同的敛散性。
当A=0 时， Σn
=1
∞
Un 收敛，则Σn
=1
∞
V n 收敛； Σn
=1
∞
V n 发散，则Σn
=1
∞
Un 发散。
当A=+∞ 时， Σn
=1
∞
V n 收敛，则Σn
=1
∞
Un 收敛； Σn
=1
∞
Un 发散，则Σn
=1
∞
V n 发散。
正项级数审敛法之二：比值判别法lim
n →∞
U n+1
Un
= p
当p<1 时，级数Σn
=1
∞
Un 收敛
当p>1 时，级数Σn
=1
∞
Un 发散
当p=1 时，比值判别法失效
交错级数Σn
=1
∞
(−1)nUn 级数审敛——莱布尼斯判别法
若满足Un≥Un+1 ，即Un 单调减少，且lim
n →∞
Un=0 ，则收敛。
幂级数收敛半径
l=lim
n→∞ ∣an+1
an ∣ 或l=lim
n→∞
n√an
R=1l
， 0<l<+∞
R=0 ， l=+∞
R=+∞ ， l=0
判断x=±R 端点处的敛散性后，即可写出收敛域。
只有an xn 才可使用该方法求收敛半径， x2n 等有缺次项的不能这么求收敛半径。
Σn
=2
∞ 1
nlnq n ，当q>1 时收敛，当q≤1 时发散
线性代数
A为n阶矩阵，A可逆
⇔∣A∣≠0 ⇔r (A)=n
⇔Ax=0 只有零解
⇔ A与单位矩阵E等价
⇔ A的特征值全不为0
⇔ A的行/列向量组线性无关
A是m×n 矩阵，b为m维列向量，Ax=b对于任何b总有解
⇔∀b∈Rm ， ∃ 常数C1,C2,…Cn ，使(a1,a2,…an)(C1
C2
⋮
Cn)=b
⇔ A的列向量a1,a2,…, an 可以表示任一m维列向量
⇔∃n×m 矩阵B，使AB=E
⇔ 向量组a1,a2,…, an 与ε 1=(10⋮0 ),ε 2=(01
⋮0
)…ε n=(0⋮01
) 等价
⇔ 向量组秩r (a1,a2,…,an)=r (A)=m
⇔ A行向量线性无关
范德蒙行列式∣1 1 1 … 1
x1 x2 x3 … xn
x1
2 x2
2 x3
2 … xn 2
⋮ ⋮
x1
n−1 x2
n −1 x3
n−1 … xn n −1∣= Π
1≤ j≤i≤n
(xi−x j)
∣kA∣=k n∣A∣ ∣AB∣=∣A∣∣B∣ ∣A*∣=∣A∣n−1 ∣A−1∣=∣A∣−1
(kA)*=k n−1 A* A*=∣A∣A−1 (A*)−1=( A−1)*= A
∣A∣ (A*)*=∣A∣n−2 A
(An)−1=( A−1)n (kA)−1=1k
A−1
(AB)−1=B−1 A−1 (A−1)T=( AT )−1
(A*)T=( AT )* (kA)T=kAT (AB)T=BT AT (A+B)T=AT+BT AA*=A*=∣A∣E
A=(a b
c d ) 的伴随阵A*=( d −b
−c a ) 即主对角线互换，副对角线变号。
∣A 0
* B∣=∣A *
0 B∣=∣A∣∣B∣ ， ∣0 A
B *∣=∣* A
B 0∣=(−1)mn∣A∣∣B∣
(B 0
0 C)
n
=( Bn 0
0 Cn) (B 0
0 C)
−1
=(Bn 0
0 C−1) ( 0 B
C 0 )
−1
=( 0 C−1
B−1 0
)
r (A*)=n ，若r (A)=n
r (A*)=1 ，若r (A)=n−1
r (A*)=0 ，若r (A)<n−1
A经过有限次初等变换为B，则A，B等价
⇔ A，B为同型矩阵m×n ，且r (A)=r (B)
⇔ 存在可逆矩阵P，Q，使A=PBQ （注意，即使AB为n阶方阵，未必有∣A∣=∣B∣ ）
A，B是n阶矩阵，存在可逆矩阵P，使P−1 AP=B ，则A、B相似， A～B
⇔∣λ E−A∣=∣λ E−B∣ ，即A、B有相同的特征值
⇔Σ
i=1
n
aii=Σ
i =1
n
bii ，即A、B有相同的迹
⇔r (A)=r (B)⇔∣A∣=∣B∣
A、B是n阶实对称阵，若存在可逆矩阵C，使CT AC=B ，则A、B合同。记为A≃B
实对称阵A～B⇒ A≃B⇔ 二次型xT Ax 与xT Bx 有相同的正负惯性指数
⇒r( A)=r (B)
A是m×n 阶矩阵
Ax=0 有非零解⇔r (A)<n 。即，若m<n ，则必有非零解。
Ax=b 有唯一解⇔r (A)=r (̄A)=n
Ax=b 有无穷解⇔r (A)=r (̄A)<n
Ax=b 无解⇔r (A)+1=r ( ̄A)⇔ b不能由A列向量线性表出
基础解系三条件
1. 向量组a1,a2,…,as 是方程组的解
2. 向量之间线性无关
3. 向量个数s=n−r ( A)
两个向量组可以互相线性表出，则两向量组等价。
若向量组（I）可由向量组（II）线性表出，且r (I )=r (II ) ，则（I）（II）等价。
A为n阶矩阵齐次方程 Ax=0 非齐次方程 Ax=b
∣A∣≠0 只有零解有唯一解
∣A∣=0 有非零解无解或者多解
向量组a1,a2,…,as 线性相关⇔(a1 a2 … as)(x1
x2
⋮
x s)=0 有非零解
⇔r (a1,a2,…,as)<s (即小于向量个数)
⇔ 存在ai 可有其余s-1个向量线性表出
向量组a1,a2,…,as 线性无关⇔(a1 a2 … as)(x1
x2
⋮
x s)=0 只有零解
⇔r(a1,a2,…, as)=s
⇔ 每个ai 都不能由其余s-1个向量线性表出
两两正交的非零向量必然线性无关
r (A)=r (AT ) r (kA)=r (A) r (A+B)≤r ( A)+r ( B) r (AB)≤min{ r (A) , r (B)}
若A可逆，则r (AB)=r (B) ，同理若B可逆，则有r (AB)=r ( A)
A是m×n 矩阵，B是n× p 矩阵，若AB=0，则r (A)+r (B)≤n
Schmidt正交换
β 1=a1 β 2=a2−
(a2,β 1)
(β 1,β 1)
β 1 … β s=as−
(as ,β 1)
(β 1,β 1)
β 1−…−
(as ,β s−1)
(β s−1 ,β s−1)
β s−1
变成正交矩阵，需要将β 1,β 2,…,β s 规范化， r i=
β i
∣∣β i∣∣
特征值性质
λ 是A的特征值，则λ k 是Ak 的特征值。
λ 是a的特征值，若A可逆，则1λ
是A−1 的特征值。
λ 是A的特征值，则∣A∣
λ 是A* 的特征值
不同特征值的特征向量线性无关，若A是实对阵阵，则不同特征值对应的特征向量相互正交。
λi
是A的k重特征值时，A属于λ
i 的线性无关特征向量个数不超过k个。
A与对角矩阵相似的充要条件，A有n个线性无关的特征向量
⇔ A有n个不同的特征值
或者⇔ A的每个ni 重特征值λ
i ，都有ni 线性无关特征向量
⇔(λ
i E−A) x=0 有ni 个线性无关解向量
⇔r (λ iE−A)=n−ni
实对称阵特点：
1. 必可相似对角华
2. 特征值全是实数，特征向量都是实向量
3. 不同特征值的特征向量相互正交
4. ni 重特征值必有ni 个线性无关特征向量
5. 可用正交变换化为相似标准型
用正交变换将实对称阵化相似标准型步骤，求出实对称阵所有特征值。
1. A的特征值是单重时，将特征向量单位化。
2. A的特征值是ni 重时，将ni 个线性无关特征向量Schmidt正交化，然后单位化。
n元二次型xT Ax 正定
⇔ xT Ax 的正惯性指数p=n
⇔ A与E合同， A≃E
⇔ A的所有特征值大于零（ ∣A∣>0 是必要条件）
⇔ A的顺序主子式全大于零（ aii>0 是必要条件）
⇔ 存在可逆矩阵C，使得A=CTC
对于二次型A，r(A)=正、负惯性指数之和
概率
分布参数定义域分布率期望方差
0-1分布P 1，0 pk q1−k p pq
二项分布
（B）
n，p 0,1,…,n Cn k pk qn−k np npq
几何分布p 1,2,… p qk−1 1
p
q
p2
超几何分布n，N，M CM k CN−M
n−k
CN n
np
（p=M/N）
npq N−n
N−1
柏松分布
（P）
λ >0 自然数λ k
k !
e−λ λ λ
均匀分布
（U）
a，b （a，b） 1
b−a
a+b
2
(b−a )2
12
指数分布
（E）
λ (0,+∞) λ e−λ x 1λ
1
λ 2
正态分布
（N）
μ ,σ (−∞,+∞) 1
√2π σ
e
−
( x−μ)2
2σ 2 μ σ
标准正态分布μ=0,σ =1 (−∞,+∞) 1
√2π
e
−x2
2 0 1
A，B不相容⇔P( AB)=0 ，即A∩B=∅
A，B独立⇒P( AB)=P(A)P(B)
切比雪夫大数定律（注：所有大数定律都要求样本相互独立）
lim
n →∞
P{∣1n
Σi
=1
n
Xi−1n
Σi
=1
n
EXi∣<ε }=1 EX i DX i 存在，且DX i 有上限
伯努力大数定律
lim
n →∞
P{∣1n
Σi
=1
n
Xi−P∣<ε }=1 Xi 为参数P的的0-1分布
辛钦大数定律
lim
n →∞
P{∣1n
Σi
=1
n
Xi−μ∣<ε }=1 Xi 同分布同期望， EX i=μ
列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）
lim
n→∞
P{ 1
σ √n
(Σ
i=1
n
Xi−nμ )≤x }=Φ ( x) ，即Σ
i=1
n
X i−nμ
σ √n
=
1n
Σi
=1
n
Xi−μ
σ /√n
～N (0,1)
Φ (x) 是标准正态分布， σ =√DX
拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为其极限分布）
lim
n→∞
P{
Yn−np
√np(1− p)
≤x}=Φ ( x) ，即
Yn−np
√np(1− p)
～N (0,1)
̄X=1n
Σi
=1
n
X i S2= 1
n−1Σi =1
n
( Xi− ̄X )2= 1
n−1Σi=1
n
( Xi
2−n ̄X 2)
E ( ̄X )=E( Xi )=μ D( ̄X )=D ( X )
n =
μ2
n E(S2)=D(X )=σ 2
设X ～N (0,1) ， Y～χ 2(n) ，则
t= X
√Y
n
t1−a(n)=−ta(n) t2～F (1,n)
X～χ 2(n1) Y～χ 2(n2) ，则F=
X /n1
Y /n2
，记为F (n1, n2)
F～F (n1, n2)⇒1F
～F(n2, n1) F1−a(n1,n2)= 1
Fa(n2,n1)
设X ～N (0,1)
⇒ ̄X ～N (μ ,σ 2
n )⇒
̄X−μ
σ /√n
=√n( ̄X −μ )
σ ～N (0,1)
⇒ 1
σ 2Σ
i=1
n
( X i−μ )2～χ 2(n)
⇒
(n−1)S2
σ 2 =Σ
i=1
n
(
Xi− ̄X
σ )
2
～χ 2(n−1)
⇒
̄X −μ
σ /√n
√(n−1) S2
σ 2 /(n−1)
=
̄X −μ
σ /√n
Sσ =√n( ̄X −
μ
)
S ～t(n−1)⇒ n( ̄X −μ )2
S2 ～F(1,n−1)
X与Y不相关⇔Cov ( X ,Y )=0⇔EXY=EXEY ⇔D( X +Y )=DX+DY
P(AB)=P( A| B) P( B)=P(B| A)P(A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P( AB)
柏松积分： ∫−∞
+∞ e−t 2 dt=√π
Γ 函数：
Γ (a)=∫0
+∞ xa−1e−xdx Γ (12
)=√π Γ (a+1)=aΓ (a) Γ (n)=(n−1)! Γ (1)=1
方差： D( X )=E( X 2)−[ E( X )]2
协方差： Cov( X ,Y )=E[( X−EX )(Y−EY )]=E( XY )−EXEY
D( X ±Y )=DX+DY±2Cov ( X ,Y )
相关系数ρ XY=
Cov ( X ,Y )
√DX √DY
柏松定理：
设X符合参数为n，p的二项分布，即X ～B(n , p) ，当n充分大而p充分小，且np
大小适中时，X近似服从参数为λ =np 的柏松分布。
槺-拉定理：
设X符合参数为n，p的二项分布，即X ～B(n , p) ，当n充分大时，X近似服从参
数为np，npq的正态分布，即X ～N (np , npq)
连续型随机变量函数的分布的求法， Y=g ( X )
定义法： FY ( y)=P {Y≤y }=P{ g ( X )=y}= ∫
g( x)≤y
f (x )dx f Y ( y)=FY ' ( y )
公式法：要求Y=g ( X ) 严格单调， f X ( x) 处处可导
f Y ( y)= f X [h ( y)]∣h' ( y )∣ α <y<β
f Y ( y)=0 其他
h( y) 是g ( x) 的反函数
卷积公式：
Z=X −Y f Z (z )=∫
−∞
+∞
f ( x+z , x)dx ，若独立，则f Z ( z )=∫
−∞
+∞
f X (x+z ) f Y (x )dx
注意：卷积公式形式很多，总体思想是，将X、Y其中一个变量用Z表示，对剩下的变量在
整个定义域内做积分。公式中的积分区域虽然是(−∞,+∞) ，但实际使用公式时，应根据
实际的定义域进行积分。
边缘分布函数：设( X ,Y )～ f (x , y )
F X ( x)=P { X ≤x}=P { X≤x ,Y<+∞}=F( x ,+∞)=∫
−∞
x
[∫
−∞
+∞
f ( x , y)dy ]dx
f X ( x)=∫
−∞
+∞
f (x , y )dy f Y ( y)=∫
−∞
+∞
f (x , y)dx
f X |Y ( x| y)=
f (x , y )
f Y ( y) f Y |X ( y | x)=
f (x , y )
f X ( x)
X符合参数为λ 的柏松分布，则Y=kX符合k λ 的柏松分布。即，
X ～P(λ ) 且Y=kX ⇒Y～P(k λ )
分布可加性：条件：X，Y相互独立
X ～B(n , p) Y～B(m, p) ，则X +Y～B(m+n , p)
X ～P(λ 1) Y～P(λ 2) ，则X +Y～P(λ 1+λ 2)
X ～N (μ1,σ 1
2) Y～N (μ2,σ 2
2 ) ，则aX +bY ～N (aμ1+bμ 2，a2σ 1
2 +b2σ 2
2 )
X ～χ 2(n) Y～χ 2(m) ，则X+Y～χ 2(n+m)
当X，Y不相互独立时，正态分布相加结果：
X ～N (μ1,σ 1
2 ) Y～N (μ2,σ 2
2 ) aX+bY ～N (aμ1+bμ 2，a2σ 1
2 +b2σ 2
2 +2abρ σ1σ 2)
对于二维正态分布，不相关等价于相互独立。
F (x) 为分布函数的充要条件：
1. F (x) 单调不减，且右连续
2. lim
x→−∞
F( x)=0 lim
x→+∞
F( x)=1
f (x ) 为概率密度的充要条件：
1. f (x )≥0
2. ∫
−∞
+∞
f (x )=1
X，Y相互独立⇔F (x , y )=F X ( x) FY ( y )⇔ f ( x , y)= f X (x ) f Y ( y )
矩估计法：样本矩 = 总体矩，即1n
Σi
=1
n
X i
l =E( X l)
最大似然估计：
X1, X 2,…, X n 为来自总体X的样本， X1, X 2,…, X n 相互独立，则，
联合分布概率密度为
2,
L(θ )=L( X ¿ , X n ,θ )=Π
i=1
n
f ( X i ,θ )
θ 的最大似然估计值为，使L(θ ) 取得最大值时的θ 值。