2015考研数学暑期复习：高等数学之多元函数微分学

夜末清风

暑期，是考研黄金复习期。同学们要多利用这段时间夯实基础，千万不要眼高手低，无论是哪本数学复习书，大家一定要去做，去看。不要一份试题放到你面前，你根本就不知道无从下手。高数中，多元部分较为重要。高等数学中有多元函数微分学，多元函数积分学。从本质上讲多元是一元的升华，相应的理论和方法也可以从一元那里类比过来。但是多元部分也有自己的特点，它与一元部分也有所区别。

　　1.深刻理解概念

　　前面我说了多元与一元有联系，但也有区别。所以在这里，我说的深刻理解概念就是要说清楚多元函数微分学与一元函数微分学的区别以及大家需要注意的地方。那么，在多元函数微分学的知识体系中，最重要的就是对基本概念的理解。也就是要理解多元函数的极限，连续，可导与可微。首先，大家对极限的理解很关键。它与一元部分是有区别的。以二元函数为例，大家要清楚逼近方式的任意性，而一元函数中就两个方向。所以一般考研考二元函数极限就是问大家这个极限是否存在，那么大家就选取两个方向来说明就够了。至于连续，把极限搞清楚了，连续就不是问题了。然后，可导的概念。还是以二元函数为例。二元函数有两个变量，那么可导就是说的偏导数。基本思想是：求一个变量的导数那么就固定另外一个变量。所以实质上还是求一元函数的导数。至于可微的思想可以直接平移一元的。虽然有些变化，但是基本的形式是一样的。最后，三者关系。这是相当重要的一个点。具体来说，可微可以推出可导和连续，而反之不成立。希望大家不仅要记住结论，还要知道为什么是这样的关系。大家通过自己推一推就可以准确的把握这三个概念了。在大家深刻理解了这些概念后，后面的内容就偏向计算了。

　　2.培养计算能力

　　在前面，我说了对基本概念理解的重要性。那么，说完概念，这章考查的重点还是计算。计算实质上就是多元函数微分学的应用。它主要包括偏导数的计算；方向导数与梯度；二元函数极值(无条件与条件)。其实考查计算对大家来说是最容易的考法。因为大家只要懂方法就够了，不用理解方法怎么来的。具体来说，计算偏导数，特别是高阶偏导数，大家只要掌握了链式法则就够了。同时掌握下高阶导数与求导次序无关的条件。至于计算方向导数与梯度，大家就需要知道它的含义，然后记住两个公式就行了。最后是二元函数的极值。它分为无条件极值和有条件极值。先说无条件极值。大家可以把它跟一元函数极值做个类比。这样会学的轻松些。至于条件极值，大家只要会了拉格朗日乘数法就行了。所以，这章对大家的计算能力要求很高。大家一定要沉下心仔细体会方法，然后多做练习就够了。

　　3.适量习题

　　在大家理解了基本概念以及明确了计算方法后，接下来就需要做题巩固了。在这里，我尤其反对题海战术，因为大家的时间有限并且题海战术在没理解知识点之前是没用的。现在社会做事情都讲究高效，我希望大家能够事半功倍。那么针对多元函数微分学这章，大家先针对我说的重点知识进行做题巩固，关键是每做一个题就要理解，要反思，要多想想考察了知识点那些方面。然后对次重点知识辅助做一些题，了解就够了。